Turunan fungsi

welcome to my blog. kali ini saya akan membahas tentang turunan fungsi. tapi kalian tau gak perbedaan derivatif (turunan) dengan diferensial ? nah, disini kita bisa melihat perbedaan antara derivatif dengan diferensial

disini sudah bisa kita lihat perbedaannya. jadi, jangan sampai kebalik lagi ya gaes.

Pengertian :
Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut dengan antiturunan.Turunan dan integral adalah 2 fungsi penting dalam kalkulus.

Diferensial (turunan) fungsi dapat dinotasikan sebagai berikut:

Rumus dan aturan-aturan dalam diferensial

1) Turunan dari fungsi konstan/konstanta

dengan k = konstanta, maka  

2) Turunan fungsi x berpangkat n

dengan n = sembarang bilangan, maka 

3) Turunan fungsi dengan koefisien c,

 maka 

4) Aturan penjumlahan dan pengurangan fungsi dalam turunan,

 maka  

5) Aturan perkalian fungsi dalam turunan,

 maka  

6) Aturan pembagian fungsi dalam turunan,

 maka  

7) Aturan rantai dalam turunan,

 maka 

atau

 maka  

Kaidah-kaidah Diferensial

1. Diferensiasi konstanta

Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka

Contoh : y = 5, maka   dy / dx = 0

atau lebih mudahnya kalau kita mengganti simbol dy/dx menjadi y’, misalnya:

y = 100

y’ = 0

y = ½

y’ = 0

2. Diferensiasi fungsi pangkat

Jika y = xⁿ , dimana n adalah konstanta, maka ^n-1

Contoh :

      y = x^{– 8}

y’ = – 8x^{– 9}

y = x⁵

y’ = 5x⁴

3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi

Jika y = k.v’ , dimana v = h(x) , maka

Contoh :  y = 2x⁵

                        k = 2                v = x⁵                   maka :              v′ = 5x^5-1  =  5x⁴

turunan :    y′  =  k . v′                   →                                y′  =  2 (5x⁴)

y′  =  10x⁴

^{y = 5x-8}              

        

^{k = 5          v = x-8}

^{v’ = -8x-8-1 = -8x-9}

^{maka : y’ = k.v’}

^{= 5(-8x-9) = -40x-9}

4. Diferensiasi pembagian konstanta dengaan fungsi

Jika y =  , dimana v = h(x), maka

Contoh :

y = 4 / x^-8

y’ = – 4. – 8x^{– 9}

(x^{– 8})²

y’ = 32 x^{– 9}

x^{– 16}

y’ = (32 x^{– 9} ). x¹⁶

y’ = 32 x⁷

5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi

Jika y = u ± v, dimana u = g (x) dan v = h(x), maka     dy/dx =    du/dx ±  dv/dx

Contoh :  Penjumlahan fungsi

y′  =  u′ + v′

y = 2x⁵ + x²

u = 2 x⁵                        maka :              u′ = 2.5x^5-1   =  10x⁴

 v = x²                                   maka :              v′ = 2x^2-1   =  2x

turunan :                y′  =  u′ + v′                 →        y′  =  10x⁴ + 2x

 Pengurangan fungsi

y′  =  u′ ^– v′

y = 2x⁵ – x²

u = 2 x⁵                        maka :              u′ = 2.5x^5-1   =  10x⁴

 v = x²                                   maka :              v′ = 2x^2-1   =  2x

turunan :                y′  =  u′ ^– v′                  →        y′  =  10x⁴ – 2x

      6. Diferensiasi perkalian fungsi

Jika y = u.v , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka

Contoh :

y = (5x⁴) (2x³)

u = 5x⁴            v = 2x³

u’ = 20x³             v’ = 6x²

y’ = (5x⁴). (6x²) + (2x³).(20X³)

y’ = 30 x⁶ + 40x⁶

7. Diferensiasi pembagian fungsi

Jika y =  , dimana u = g(x) dan v = h(x) maka y’ =

Contoh :

y = 3x²  / x⁴

u = 3x²                 v = x⁴

                u’ = 6x             v’ = 4x³

y’ = (x⁴)(6x)  –  (3x²)(4x³)

(x⁴)²

= 6x⁵ – 12x⁵    /   x⁸   =  -6 /  x³    = -6x^-3

Rumus Turunan Dasar Trigonometri

Berikut ini adalah beberapa turunan dasar trigonometri yang wajib diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri:

1.  f(x) = sin x  →  f '(x) = cos x
2.  f(x) = cos x  →  f '(x) = −sin x
3.  f(x) = tan x  →  f '(x) = sec² x
4.  f(x) = cot x  →  f '(x) = −csc²x
5.  f(x) = sec x  →  f '(x) = sec x . tan x
6.  f(x) = csc x  →  f '(x) = −csc x . cot x

Contoh Soal Diferensial Fungsi Trigonometri dan Penyelesaiannya

Contoh 1

Tentukan turunan dari y = sin 6x !

Penyelesaian :
Misalkan :
u = 6x   ⇒   u’ = 6

y’ = cos u . u’
y’ = cos 6x . 6
y’ = 6cos 6x

 Contoh 2

Tentukan turunan dari y = cos x²

Penyelesaian :
Misalkan :
u = x²   ⇒   u’ = 2x

y’ = −sin u . u’
y’ = −sin x²  . 2x
y’ = −2x sin x²

Contoh 3
Tentukan turunan dari y = tan (3x+2)

Penyelesaian :
Misalkan :
u = 3x + 2   ⇒   u’ = 3

y’ = sec²u . u’
y’ = sec²(3x+2) . 3
y’ = 3sec²(3x+2)

Contoh 4
Tentukan turunan dari y = sec 6x

Penyelesaian :
Misalkan :
u = 6x   ⇒   u’ = 6

y’ = sec u tan u . u’
y’ = sec 6x tan 6x . 6
y’ = 6sec 6x tan 6x

                                                 sampai sini dulu ya gaes penjelasannya, semoga bermanfaat :)