elisa blog: Oktober 2018

welcome to my blog. kali ini saya akan membahas tentang turunan fungsi. tapi kalian tau gak perbedaan derivatif (turunan) dengan diferensial ? nah, disini kita bisa melihat perbedaan antara derivatif dengan diferensial

disini sudah bisa kita lihat perbedaannya. jadi, jangan sampai kebalik lagi ya gaes.

Pengertian :
Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut dengan antiturunan.Turunan dan integral adalah 2 fungsi penting dalam kalkulus.

Diferensial (turunan) fungsi dapat dinotasikan sebagai berikut:

Rumus dan aturan-aturan dalam diferensial

1) Turunan dari fungsi konstan/konstanta

dengan k = konstanta, maka

2) Turunan fungsi x berpangkat n

dengan n = sembarang bilangan, maka

3) Turunan fungsi dengan koefisien c,

maka

4) Aturan penjumlahan dan pengurangan fungsi dalam turunan,

maka

5) Aturan perkalian fungsi dalam turunan,

maka

6) Aturan pembagian fungsi dalam turunan,

maka

7) Aturan rantai dalam turunan,

maka

atau

maka

Kaidah-kaidah Diferensial

Diferensiasi konstanta

Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka

Contoh : y = 5, maka dy / dx = 0

atau lebih mudahnya kalau kita mengganti simbol dy/dx menjadi y’, misalnya:

y = 100

y’ = 0

y = ½

y’ = 0

Diferensiasi fungsi pangkat

Jika y = xⁿ , dimana n adalah konstanta, maka ^n-1

Contoh :

y = x^{– 8}

y’ = – 8x^{– 9}

y = x⁵

y’ = 5x⁴

Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi

Jika y = k.v’ , dimana v = h(x) , maka

Contoh : y = 2x⁵

k = 2 v = x⁵maka : v′ = 5x^5-1 = 5x⁴

turunan : y′ = k. v′ → y′ = 2(5x⁴)

y′ = 10x⁴

^{y = 5x-8}

^{k = 5
v = x-8}

^{v’ = -8x-8-1 = -8x-9}

^{maka : y’ = k.v’}

^{= 5(-8x-9) = -40x-9}

Diferensiasi pembagian konstanta dengaan fungsi

Jika y = , dimana v = h(x), maka

Contoh :

y = 4 / x^-8

y’ = – 4. – 8x^{– 9}

(x^{– 8})²

y’ = 32 x^{– 9}

x^{– 16}

y’ = (32 x^{– 9} ). x¹⁶

y’ = 32 x⁷

Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi

Jika y = u ± v, dimana u = g (x) dan v = h(x), maka dy/dx = du/dx ± dv/dx

Contoh : Penjumlahan fungsi

y′ = u′+ v′

y = 2x⁵+ x²

u = 2 x⁵ maka : u′ = 2.5x^5-1 = 10x⁴

v = x²maka : v′ = 2x^2-1 = 2x

turunan : y′ = u′+ v′ → y′ = 10x⁴ + 2x

Pengurangan fungsi

y′ = u′^– v′

y = 2x⁵– x²

u = 2 x⁵ maka : u′ = 2.5x^5-1 = 10x⁴

v = x²maka : v′ = 2x^2-1 = 2x

turunan : y′ = u′^– v′ → y′ = 10x⁴ – 2x

6. Diferensiasi perkalian fungsi

Jika y = u.v , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka

Contoh :

y = (5x⁴) (2x³)

u = 5x⁴ v = 2x³

u’ = 20x³v’ = 6x²

y’ = (5x⁴). (6x²) + (2x³).(20X³)

y’ = 30 x⁶ + 40x⁶

Diferensiasi pembagian fungsi

Jika y = , dimana u = g(x) dan v = h(x) maka y’ =

Contoh :

y = 3x² / x⁴

u = 3x²v = x⁴

u’ = 6x v’ = 4x³

y’ = (x⁴)(6x) – (3x²)(4x³)

(x⁴)²

= 6x⁵– 12x⁵ / x⁸ = -6 / x³ = -6x^-3

Rumus Turunan Dasar Trigonometri

Berikut ini adalah beberapa turunan dasar trigonometri yang wajib diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri:

1. f(x) = sin x → f '(x) = cos x
2. f(x) = cos x → f '(x) = −sin x
3. f(x) = tan x → f '(x) = sec² x
4. f(x) = cot x → f '(x) = −csc²x
5. f(x) = sec x → f '(x) = sec x . tan x
6. f(x) = csc x → f '(x) = −csc x . cot x

Contoh Soal Diferensial Fungsi Trigonometri dan Penyelesaiannya

Contoh 1

Tentukan turunan dari y = sin 6x !

Penyelesaian :
Misalkan :
u = 6x ⇒ u’ = 6

y’ = cos u . u’
y’ = cos 6x . 6
y’ = 6cos 6x

Contoh 2

Tentukan turunan dari y = cos x²

Penyelesaian :
Misalkan :
u = x²⇒ u’ = 2x

y’ = −sin u . u’
y’ = −sin x². 2x
y’ = −2x sin x²

Contoh 3
Tentukan turunan dari y = tan (3x+2)

Penyelesaian :
Misalkan :
u = 3x + 2 ⇒ u’ = 3

y’ = sec²u . u’
y’ = sec²(3x+2) . 3
y’ = 3sec²(3x+2)

Contoh 4
Tentukan turunan dari y = sec 6x

Penyelesaian :
Misalkan :
u = 6x ⇒ u’ = 6

y’ = sec u tan u . u’
y’ = sec 6x tan 6x . 6
y’ = 6sec 6x tan 6x

sampai sini dulu ya gaes penjelasannya, semoga bermanfaat :)

welcome to my blog. kali ini saya akan membahas tentang limit. limit itu bisa dibilang hampir atau mendekati, nah untuk lebih rinci nya kita langsung aja ke materinya.

Definisi Limit Fungsi

Limit merupakan nilai hampiran suatu variabel pada suatu bilangan real. Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat namun tidak dapat dicapai. Dalam bahasa matematika, keadaan ini dapat disebut limit.

Berikut adalah notasi limit.

Cara Membaca notasi limit fungsi :
limx→af(x)=L dibaca limit fungsi f(x) untuk x mendekati a sama dengan L

Rumus Limit Fungsi

${\begin{matrix}\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {x}{\sin x}}&=1\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {\sin x}{x}}&=1\\\lim \limits _{x\to \infty }&x\sin({\frac {1}{x}})&=1\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {ax}{\sin bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {\sin ax}{bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits _{x\to \infty }&{\frac {ax^{m}+b}{px^{n}+q}}&={\frac {a}{p}},\qquad m=n\\\lim \limits _{x\to \infty }&{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}-{\sqrt {px^{2}+qx+r}}&={\frac {b-q}{2{\sqrt {a}}}},\qquad a=p\\\lim \limits _{x\to \infty }&(1+{\frac {1}{x}})^{x}&=e\\\lim \limits _{x\to 0}&(1+x)^{\frac {1}{x}}&=e\\\lim \limits _{x\to \infty }&(1+{\frac {a}{x}})^{bx}&=e^{ab}\\\lim \limits _{x\to 0}&(1+ax)^{\frac {b}{x}}&=e^{ab}\\\end{matrix}}$

Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Ada 2 bentuk dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu:

Bentuk pertama

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$

Bentuk kedua

$\lim_{x\rightarrow \sim }f(x)$

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang pertama ada beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu dengan cara substitusi dan cara pemfaktoran.

Cara Substitusi

Cara substitusi ini langkahnya dengan mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya. Beriku contoh yang dapat dipahami.

Contoh :

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 1}\ 3x-1=3(1)-1=3-1=2$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 1}\ 3x-1=2$

Cara Pemfaktoran

Cara pemfaktoran digunakan apabila cara substitusi menghasilkan nilai limit yang tidak terdefinisikan seperti pada contoh berikut:

$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\ \frac{(2)^{2}-4}{2-2}=\ \frac{4-4}{2-2}=\ \frac{0}{0}$

Cara pemfaktoran dilakukan dengan langkah menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebuntya. Berikut contoh yang dapat dipahami.

Contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{{{\color{Red} (x-2)}}{(x+2)}}{{\color{Red} (x-2)}}=\lim_{x\rightarrow 2}\ (x+2)=\ (2)+2=\ 4$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\ 4$

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang kedua ada beberapa cara dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut dan metode mengalikan dengan faktor sekawan.