elisa blog: 2018

Selasa, 20 November 2018

Matriks

Halo gaes kita ketemu lagi nih, kali ini saya akan membahas tentang matriks. Disini saya akan membahas definisi matriks, operasi pada matriks, syarat matriks dan contohnya. Oke kita langsung aja ke materiya yuk.

Definisi Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun secara baris “i” dan kolom “j” yang letaknya diantara dua buah kurung. Suatu matriks dinotasikan dengan huruf kapital. Bilangan – bilangan yang membentuk sebuah matriks disebut elemen matriks. Sebuah matriks mempunyai ukuran yang disebut ordo. Ordo matriks berbentuk m x n dengan m sebagai banyak baris dan n sebagai banyak kolom.

Syarat – syarat suatu matriks :

Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B
Semua elemen yang terletak pada matriks A dan matriks B mempunyai baris dam kolom yang sama.

Operasional Matriks

Penjumlahan

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan apabila suatu matriks mempunyai ukuran (orde) yang sama. Artinya, semua matriks yang dijumlahkan harus memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Contoh cara melakukan operasi penjumlahan pada matriks:

contoh soal :

Pengurangan

Sama seperti penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila suatu matriks mempunyai ukuran yang sama yaitu jumlah baris dan jumlah kolom harus sama. Jika ukurannya berbeda maka hasil matriks tidak terdefinisikan. Contoh cara melakukan operasi pengurangan pada matriks:

contoh soal :

Perkalian matriks dengan skalar

Cara melakukan operasi skalar pada matriks adalah dengan mengalikan semua elemen-elemen matriks dengan skalarnya. Jika k adalah suatu konstanta dan A adalah matriks, maka cara melakukan operasi perkalian skalar dapat dilihat melalui cara di bawah.

Perkalian Matriks dengan Skalar

contoh soal :

Perkalian matriks dengan matriks

Syarat pada perkalian matriks ini adalah jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.

Perkalian dua matriks A x B dapat diperoleh dengan cara di bawah.

Perkalian Matriks

Maka perkalian dua matriks A x B dapat diperoleh dengan cara di bawah.

contoh soal :

Jenis – jenis matriks

Berdasarkan jumlah baris dan kolom :

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris.

$\textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} 1 \; 0 \; 0 \end{bmatrix}$

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom.

$\textrm{A} \; = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}$

Matriks mendatar adalah matriks yang jumlah kolom lebih banyak dari jumlah baris.

$\textrm{A} \; = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{bmatrix}$

Matriks tegak adalah matriks yang memiliki jumlah baris lebih banyak dari jumlah kolom.

$\textrm{A} \; = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$

Berdasarkan pola elemennya :

Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen-elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan yang lainnya nol. Contoh :

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol. Contoh :

Matriks skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen lainnya nol. Contoh :

Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di luar diagonal utamanya nol. Contoh :

Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya nol. Contoh :

Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya nol. Contoh :

Transpose matriks adalah matriks yang disusun dengan cara menukarkan baris menjadi kolom dan sebaliknya kolom menjadi baris. Contoh :

sampai sini dulu ya penjelasannya semoga bisa bermanfaat dan sampai ketemu lagi di blog saya selanjutnya

Selasa, 16 Oktober 2018

Turunan fungsi

welcome to my blog. kali ini saya akan membahas tentang turunan fungsi. tapi kalian tau gak perbedaan derivatif (turunan) dengan diferensial ? nah, disini kita bisa melihat perbedaan antara derivatif dengan diferensial

disini sudah bisa kita lihat perbedaannya. jadi, jangan sampai kebalik lagi ya gaes.

Pengertian :
Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut dengan antiturunan.Turunan dan integral adalah 2 fungsi penting dalam kalkulus.

Diferensial (turunan) fungsi dapat dinotasikan sebagai berikut:

Rumus dan aturan-aturan dalam diferensial

1) Turunan dari fungsi konstan/konstanta

dengan k = konstanta, maka

2) Turunan fungsi x berpangkat n

dengan n = sembarang bilangan, maka

3) Turunan fungsi dengan koefisien c,

maka

4) Aturan penjumlahan dan pengurangan fungsi dalam turunan,

maka

5) Aturan perkalian fungsi dalam turunan,

maka

6) Aturan pembagian fungsi dalam turunan,

maka

7) Aturan rantai dalam turunan,

maka

atau

maka

Kaidah-kaidah Diferensial

Diferensiasi konstanta

Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka

Contoh : y = 5, maka dy / dx = 0

atau lebih mudahnya kalau kita mengganti simbol dy/dx menjadi y’, misalnya:

y = 100

y’ = 0

y = ½

y’ = 0

Diferensiasi fungsi pangkat

Jika y = xⁿ , dimana n adalah konstanta, maka ^n-1

Contoh :

y = x^{– 8}

y’ = – 8x^{– 9}

y = x⁵

y’ = 5x⁴

Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi

Jika y = k.v’ , dimana v = h(x) , maka

Contoh : y = 2x⁵

k = 2 v = x⁵maka : v′ = 5x^5-1 = 5x⁴

turunan : y′ = k. v′ → y′ = 2(5x⁴)

y′ = 10x⁴

^{y = 5x-8}

^{k = 5
v = x-8}

^{v’ = -8x-8-1 = -8x-9}

^{maka : y’ = k.v’}

^{= 5(-8x-9) = -40x-9}

Diferensiasi pembagian konstanta dengaan fungsi

Jika y = , dimana v = h(x), maka

Contoh :

y = 4 / x^-8

y’ = – 4. – 8x^{– 9}

(x^{– 8})²

y’ = 32 x^{– 9}

x^{– 16}

y’ = (32 x^{– 9} ). x¹⁶

y’ = 32 x⁷

Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi

Jika y = u ± v, dimana u = g (x) dan v = h(x), maka dy/dx = du/dx ± dv/dx

Contoh : Penjumlahan fungsi

y′ = u′+ v′

y = 2x⁵+ x²

u = 2 x⁵ maka : u′ = 2.5x^5-1 = 10x⁴

v = x²maka : v′ = 2x^2-1 = 2x

turunan : y′ = u′+ v′ → y′ = 10x⁴ + 2x

Pengurangan fungsi

y′ = u′^– v′

y = 2x⁵– x²

u = 2 x⁵ maka : u′ = 2.5x^5-1 = 10x⁴

v = x²maka : v′ = 2x^2-1 = 2x

turunan : y′ = u′^– v′ → y′ = 10x⁴ – 2x

6. Diferensiasi perkalian fungsi

Jika y = u.v , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka

Contoh :

y = (5x⁴) (2x³)

u = 5x⁴ v = 2x³

u’ = 20x³v’ = 6x²

y’ = (5x⁴). (6x²) + (2x³).(20X³)

y’ = 30 x⁶ + 40x⁶

Diferensiasi pembagian fungsi

Jika y = , dimana u = g(x) dan v = h(x) maka y’ =

Contoh :

y = 3x² / x⁴

u = 3x²v = x⁴

u’ = 6x v’ = 4x³

y’ = (x⁴)(6x) – (3x²)(4x³)

(x⁴)²

= 6x⁵– 12x⁵ / x⁸ = -6 / x³ = -6x^-3

Rumus Turunan Dasar Trigonometri

Berikut ini adalah beberapa turunan dasar trigonometri yang wajib diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri:

1. f(x) = sin x → f '(x) = cos x
2. f(x) = cos x → f '(x) = −sin x
3. f(x) = tan x → f '(x) = sec² x
4. f(x) = cot x → f '(x) = −csc²x
5. f(x) = sec x → f '(x) = sec x . tan x
6. f(x) = csc x → f '(x) = −csc x . cot x

Contoh Soal Diferensial Fungsi Trigonometri dan Penyelesaiannya

Contoh 1

Tentukan turunan dari y = sin 6x !

Penyelesaian :
Misalkan :
u = 6x ⇒ u’ = 6

y’ = cos u . u’
y’ = cos 6x . 6
y’ = 6cos 6x

Contoh 2

Tentukan turunan dari y = cos x²

Penyelesaian :
Misalkan :
u = x²⇒ u’ = 2x

y’ = −sin u . u’
y’ = −sin x². 2x
y’ = −2x sin x²

Contoh 3
Tentukan turunan dari y = tan (3x+2)

Penyelesaian :
Misalkan :
u = 3x + 2 ⇒ u’ = 3

y’ = sec²u . u’
y’ = sec²(3x+2) . 3
y’ = 3sec²(3x+2)

Contoh 4
Tentukan turunan dari y = sec 6x

Penyelesaian :
Misalkan :
u = 6x ⇒ u’ = 6

y’ = sec u tan u . u’
y’ = sec 6x tan 6x . 6
y’ = 6sec 6x tan 6x

sampai sini dulu ya gaes penjelasannya, semoga bermanfaat :)

Limit

welcome to my blog. kali ini saya akan membahas tentang limit. limit itu bisa dibilang hampir atau mendekati, nah untuk lebih rinci nya kita langsung aja ke materinya.

Definisi Limit Fungsi

Limit merupakan nilai hampiran suatu variabel pada suatu bilangan real. Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat namun tidak dapat dicapai. Dalam bahasa matematika, keadaan ini dapat disebut limit.

Berikut adalah notasi limit.

Cara Membaca notasi limit fungsi :
limx→af(x)=L dibaca limit fungsi f(x) untuk x mendekati a sama dengan L

Rumus Limit Fungsi

${\begin{matrix}\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {x}{\sin x}}&=1\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {\sin x}{x}}&=1\\\lim \limits _{x\to \infty }&x\sin({\frac {1}{x}})&=1\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {ax}{\sin bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {\sin ax}{bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits _{x\to \infty }&{\frac {ax^{m}+b}{px^{n}+q}}&={\frac {a}{p}},\qquad m=n\\\lim \limits _{x\to \infty }&{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}-{\sqrt {px^{2}+qx+r}}&={\frac {b-q}{2{\sqrt {a}}}},\qquad a=p\\\lim \limits _{x\to \infty }&(1+{\frac {1}{x}})^{x}&=e\\\lim \limits _{x\to 0}&(1+x)^{\frac {1}{x}}&=e\\\lim \limits _{x\to \infty }&(1+{\frac {a}{x}})^{bx}&=e^{ab}\\\lim \limits _{x\to 0}&(1+ax)^{\frac {b}{x}}&=e^{ab}\\\end{matrix}}$

Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Ada 2 bentuk dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu:

Bentuk pertama

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$

Bentuk kedua

$\lim_{x\rightarrow \sim }f(x)$

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang pertama ada beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu dengan cara substitusi dan cara pemfaktoran.

Cara Substitusi

Cara substitusi ini langkahnya dengan mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya. Beriku contoh yang dapat dipahami.

Contoh :

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 1}\ 3x-1=3(1)-1=3-1=2$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 1}\ 3x-1=2$

Cara Pemfaktoran

Cara pemfaktoran digunakan apabila cara substitusi menghasilkan nilai limit yang tidak terdefinisikan seperti pada contoh berikut:

$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\ \frac{(2)^{2}-4}{2-2}=\ \frac{4-4}{2-2}=\ \frac{0}{0}$

Cara pemfaktoran dilakukan dengan langkah menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebuntya. Berikut contoh yang dapat dipahami.

Contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{{{\color{Red} (x-2)}}{(x+2)}}{{\color{Red} (x-2)}}=\lim_{x\rightarrow 2}\ (x+2)=\ (2)+2=\ 4$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\ 4$

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang kedua ada beberapa cara dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut dan metode mengalikan dengan faktor sekawan.