elisa blog: Limit

Selasa, 16 Oktober 2018

Limit

welcome to my blog. kali ini saya akan membahas tentang limit. limit itu bisa dibilang hampir atau mendekati, nah untuk lebih rinci nya kita langsung aja ke materinya.

Definisi Limit Fungsi

Limit merupakan nilai hampiran suatu variabel pada suatu bilangan real. Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat namun tidak dapat dicapai. Dalam bahasa matematika, keadaan ini dapat disebut limit.

Berikut adalah notasi limit.

Cara Membaca notasi limit fungsi :
limx→af(x)=L dibaca limit fungsi f(x) untuk x mendekati a sama dengan L

.

Rumus Limit Fungsi

${\begin{matrix}\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {x}{\sin x}}&=1\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {\sin x}{x}}&=1\\\lim \limits _{x\to \infty }&x\sin({\frac {1}{x}})&=1\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {ax}{\sin bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits _{x\to 0}&{\frac {\sin ax}{bx}}&={\frac {a}{b}}\\\lim \limits _{x\to \infty }&{\frac {ax^{m}+b}{px^{n}+q}}&={\frac {a}{p}},\qquad m=n\\\lim \limits _{x\to \infty }&{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}-{\sqrt {px^{2}+qx+r}}&={\frac {b-q}{2{\sqrt {a}}}},\qquad a=p\\\lim \limits _{x\to \infty }&(1+{\frac {1}{x}})^{x}&=e\\\lim \limits _{x\to 0}&(1+x)^{\frac {1}{x}}&=e\\\lim \limits _{x\to \infty }&(1+{\frac {a}{x}})^{bx}&=e^{ab}\\\lim \limits _{x\to 0}&(1+ax)^{\frac {b}{x}}&=e^{ab}\\\end{matrix}}$

Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Ada 2 bentuk dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu:

Bentuk pertama

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$

Bentuk kedua

$\lim_{x\rightarrow \sim }f(x)$

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang pertama ada beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu dengan cara substitusi dan cara pemfaktoran.

Cara Substitusi

Cara substitusi ini langkahnya dengan mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya. Beriku contoh yang dapat dipahami.

Contoh :

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 1}\ 3x-1=3(1)-1=3-1=2$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 1}\ 3x-1=2$

Cara Pemfaktoran

Cara pemfaktoran digunakan apabila cara substitusi menghasilkan nilai limit yang tidak terdefinisikan seperti pada contoh berikut:

$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\ \frac{(2)^{2}-4}{2-2}=\ \frac{4-4}{2-2}=\ \frac{0}{0}$

Cara pemfaktoran dilakukan dengan langkah menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebuntya. Berikut contoh yang dapat dipahami.

Contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{{{\color{Red} (x-2)}}{(x+2)}}{{\color{Red} (x-2)}}=\lim_{x\rightarrow 2}\ (x+2)=\ (2)+2=\ 4$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow 2}\ \frac{x^{2}-4}{x-2}=\ 4$

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang kedua ada beberapa cara dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut dan metode mengalikan dengan faktor sekawan.

Metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut

contoh :

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari
$\lim_{x\rightarrow \sim }\ \frac{4x^{2}-6x+1}{2x^{2}+7x}=\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{4x^{2}-6x+1}{x^{2}}}{\frac{2x^{2}+7x}{x^{2}}}$

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal ini adalah 2, maka
$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{\frac{4x^{2}}{x^{2}}-\frac{6x}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}}{\frac{2x^{2}}{x^{2}}+\frac{7x}{x^{2}}}=\ \lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{2+\frac{7}{x}}$
$\frac{4-\frac{6}{\sim }+\frac{1}{\sim ^{2}}}{2+\frac{7}{\sim }}=\ \frac{4-0-0}{2+0}=\frac{4}{2}=2$

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,
$\lim_{x\rightarrow \sim }\frac{4x^{2}-6x+1}{2x^{2}+7x}=\ 2$

Metode mengalikan dengan faktor sekawan

Contoh :

Tentukan nilai limit dari

Langkah awal yang perlu dilakukan untuk menentukan nilai suatu limit yaitu dengan mensubtitusikan x=c ke f(x), sehingga dalam kasus ini substitusikan
x=4 ke

Setelah disubstitusikan ternyata nilai limit tersebut tidak terdefinisi atau merupakan bentuk tak tentu Maka dari itu untuk menentukan nilai suatu limit harus menggunakan metode lain. Apabila diperhatikan, pada f(x) terdapat bentuk akar yaitu

sehingga metode perkalian dengan akar sekawaran dapat dilakukan pada kasus seperti ini.

Bentuk dapat difaktorkan menjadi

Jadi, nilai limit fungsi aljabar tersebut adalah -4

Macam-macam trigonometri

Berikut ini adalah nama-nama trigonometri yang kita kenal :

Sinus (sin)

Tangen (tan)

Cosinus (cos)

Cotongen (cot)

Secan (sec)

Cosecan (Csc)

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Berikut ini adalah beberapa turunan dasar trigonometri yang wajib diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri:

f(x) = sin x → f ‘(x) = cos x

f(x) = cos x → f ‘(x) = −sin x

f(x) = tan x → f ‘(x) = sec2 x

f(x) = cot x → f ‘(x) = −csc2x

f(x) = sec x → f ‘(x) = sec x . tan x

f(x) = csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I

Misalkan u merupakan fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, dimana u’ adalah turunan u terhadap x, maka :

f(x) = sin u → f ‘(x) = cos u . u’

f(x) = cos u → f ‘(x) = −sin u . u’

f(x) = tan u → f ‘(x) = sec2u . u’

f(x) = cot u → f ‘(x) = −csc2 u . u’

f(x) = sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’

f(x) = csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II

Berikut ini adalah turunan dari fungsi-fungsi rumus sin cos tan trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b adalah bilangan real dengan a≠0 :

f(x) = sin (ax + b) → f ‘(x) = a cos (ax + b)

f(x) = cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b)

f(x) = tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec2 (ax +b)

f(x) = cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc2 (ax+b)

f(x) = sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)

f(x) = csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b).

Contoh Soal Turunan Trigonometri

1.) Turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x) adalah f ‘ (x) = …..

Jawab :

* ingat $f(x) = {\color{Red} a.cos\:(bx+c)}\;\;\;\;maka \;\;\;\;f'(x)= {\color{Red} -ab.sin\:(bx+c)}$

* maka:

$\begin{align}f(x) & = & 7 cos (5 - 3x)\\f'(x) & = & -7.(-3).sin(5-3x)\\ & = & 21\;sin(5-3x) \end{align}$

2.) Jika f ‘(x) adalah turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x – 2 ) sin (2x + 1) maka f ‘ (x) adalah …

Jawab :

* $f (x) = {\color{Red} (3x-2)}\;{\color{DarkGreen} sin( 2x + 1 )}$ kita misalkan terlebih dulu

$\begin{array}{lcl}{\color{Red} u}={\color{Red} 3x-2} & maka & u'=3 \\v={\color{DarkGreen} sin(2x+1)} & maka & v'=2\;cos(2x+1) \end{array}$

* ingat rumus turunan perkalian dua fungsi :

$\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 3.{\color{DarkGreen} sin(2x+1)}+2cos(2x+1).({\color{Red} 3x-2})\\ & = & 3\;sin(2x+1)+(6x-4)\;cos(2x+1) \end{array}$

3.) Turunan pertama fungsi f (x) = 5 sin x cos x adalah f ‘ (x) = …

Jawab :

* $f (x) = {\color{Red} 5\;sin\;x}\;{\color{DarkGreen} cos\;x}$ kita misalkan terlebih dulu

$\begin{array}{lcl}{\color{Red} u}={\color{Red} 5sin\;x} & maka & u'=5cos\;x\\v={\color{DarkGreen} cos\;x} & maka & v'=-sin\;x \end{array}$

* ingat rumus turunan

$\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 5cos\;x.{\color{DarkGreen} cos\;x}+(-sin\;x).({\color{Red} 5sin\;x})\\ & = & 5\;cos^2x-5\;sin^2x\\ & = & 5(cos^2x-sin^2x)\\ & = & 5.cos\;2x \end{array}$

Namun perlu di ingat cara yang satu ini lebih simple, kita bisa pakai, berikut caranya:

* ingat bahwa $sin\;2x=2\;sin\;x.cos\;x$

* sehingga :

$\begin{align}f(x) & = & 5\;sin\;x\;cos\;x\\ & = & \frac{5}{2}.{\color{DarkBlue} 2.sin\;x.cos\;x}\\ & = & \frac 52.sin\;2x \end{align}$

* maka :

$\begin{align}f'(x) & = & \frac 52.2.cos\;2x\\ & = & 5\;cos\;2x\end{align}$

Dengan hasil yang sama namun lebih cepat dalam pengerjaannya, silahkan pilih cara yang lebih anda sukai. sekian dari saya semoga bisa bermanfaat untuk kita semua. terima kasih sudah membaca :)

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)