Integral

Hay gaes welcome to my blog, kali ini saya akan membahas tentang integral. Disini saya akan membahas sedikit tentang integral dari rumus sampai contoh soal nya. Kita langsung aja ke materinya yuk.

Pengertian integral
      integral adalah bentuk operasi matematika yang menjadi kebalikan (invers) dari operasi turunan dan limit dari jumlah atau luas daerah tertentu. integral merupakan kebalikan dari diferensiasi. integral disebut juga turunan. lambang integral adalah 
 
  integral terbagi menjadi 2 jenis yaitu:

1. Integral tak tentu

             merupakan bentuk integral yang variabel integrasinya tidak memiliki batas sehingga integrasi dari sebuah fungsi akan menghasilkan banyak kemungkinan dan hanya dinyatakan sebagai penyelesian umum.

Rumus Integral Tak Tentu 

∫ axⁿ dx = (a/(n+1))xⁿ⁺¹ + C, n ≠ 1

Keterangan :

∫ : Integral

x : Variabel x

a : Koefisien variabel x

n : Pangkat fungsi x

ax : Fungsi x

dx : Turunan fungsi x

C : Konstanta

2. Integral tentu

             adalah bentuk integral yang variabel integrasinya memiliki batasan. batasan tersebut biasanya disebut sebagai batas atas dan batas bawah.

Rumus :

_a∫^b f'(x) dx = [F(x)]^b_a = f(b) - f(a)

Keterangan  :

a dan b = nilai x yang telah ditentukan 
∫ = integral
x = variabel 
f'(x) = turunan dari x
dx = dibaca turunan x

Aturan dasar integral
1. Rule 1 (the power rule)

2. Rule 2 (the exponetial rule)
     a. Rule 2a

     b. Rule 2b

3. Rule 3 (the logarithmic rule)
     a. Rule 3a

     b. Rule 3b

4. Rule 4 (the integral of sun)

5. Rule 5 (the integral of multiple)

6. Rule 6 (the subtitusion rule)

7. Rule 7 (integration by part)

8. Rule 8 (trigonometric rules)

sampai sini dulu ya penjelasannya semoga bisa bermanfaat :)

Matriks

Halo gaes kita ketemu lagi nih, kali ini saya akan membahas tentang matriks. Disini saya akan membahas definisi matriks, operasi pada matriks, syarat matriks dan contohnya. Oke kita langsung aja ke materiya yuk.

Definisi Matriks

                Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun secara baris “i” dan kolom “j” yang letaknya diantara dua buah kurung. Suatu matriks dinotasikan dengan huruf kapital. Bilangan – bilangan yang membentuk sebuah matriks disebut elemen matriks. Sebuah matriks mempunyai ukuran yang disebut ordo. Ordo matriks berbentuk m x n dengan m sebagai banyak baris dan n sebagai banyak kolom. 

Syarat – syarat suatu matriks :

• Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B
• Semua elemen yang terletak pada matriks A dan matriks B mempunyai baris dam kolom yang sama.

Operasional Matriks

Penjumlahan

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan apabila suatu matriks mempunyai ukuran (orde) yang sama. Artinya, semua matriks yang dijumlahkan harus memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Contoh cara melakukan operasi penjumlahan pada matriks:

contoh soal :

Pengurangan

                Sama seperti penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila suatu matriks mempunyai ukuran yang sama yaitu jumlah baris dan jumlah kolom harus sama. Jika ukurannya berbeda maka hasil matriks tidak terdefinisikan. Contoh cara melakukan operasi pengurangan pada matriks:

contoh soal :

Perkalian matriks dengan skalar

                Cara melakukan operasi skalar pada matriks adalah dengan mengalikan semua elemen-elemen matriks dengan skalarnya. Jika k adalah suatu konstanta dan A adalah matriks, maka cara melakukan operasi perkalian skalar dapat dilihat melalui cara di bawah.



contoh soal :

Perkalian matriks dengan matriks

                Syarat pada perkalian matriks ini adalah jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. 

Perkalian dua matriks A x B dapat diperoleh dengan cara di bawah.

Maka perkalian dua matriks A x B dapat diperoleh dengan cara di bawah.

contoh soal :

Jenis – jenis matriks

Berdasarkan jumlah baris dan kolom :

1. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris. 

  

2. Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom.

  

3. Matriks mendatar adalah matriks yang jumlah kolom lebih banyak dari jumlah baris.

  

4. Matriks tegak adalah matriks yang memiliki jumlah baris lebih banyak dari jumlah kolom.

Berdasarkan pola elemennya :

• Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen-elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan yang lainnya nol. Contoh :

• Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol. Contoh :

• Matriks skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen lainnya nol. Contoh :

• Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di luar diagonal utamanya nol. Contoh :

• Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya nol. Contoh :

 

• Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya nol. Contoh :

Transpose matriks adalah matriks yang disusun dengan cara menukarkan baris menjadi kolom dan sebaliknya kolom menjadi baris. Contoh :

sampai sini dulu ya penjelasannya semoga bisa bermanfaat dan  sampai ketemu lagi di blog saya selanjutnya

Turunan fungsi

welcome to my blog. kali ini saya akan membahas tentang turunan fungsi. tapi kalian tau gak perbedaan derivatif (turunan) dengan diferensial ? nah, disini kita bisa melihat perbedaan antara derivatif dengan diferensial

disini sudah bisa kita lihat perbedaannya. jadi, jangan sampai kebalik lagi ya gaes.

Pengertian :
Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut dengan antiturunan.Turunan dan integral adalah 2 fungsi penting dalam kalkulus.

Diferensial (turunan) fungsi dapat dinotasikan sebagai berikut:

Rumus dan aturan-aturan dalam diferensial

1) Turunan dari fungsi konstan/konstanta

dengan k = konstanta, maka  

2) Turunan fungsi x berpangkat n

dengan n = sembarang bilangan, maka 

3) Turunan fungsi dengan koefisien c,

 maka 

4) Aturan penjumlahan dan pengurangan fungsi dalam turunan,

 maka  

5) Aturan perkalian fungsi dalam turunan,

 maka  

6) Aturan pembagian fungsi dalam turunan,

 maka  

7) Aturan rantai dalam turunan,

 maka 

atau

 maka  

Kaidah-kaidah Diferensial

1. Diferensiasi konstanta

Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka

Contoh : y = 5, maka   dy / dx = 0

atau lebih mudahnya kalau kita mengganti simbol dy/dx menjadi y’, misalnya:

y = 100

y’ = 0

y = ½

y’ = 0

2. Diferensiasi fungsi pangkat

Jika y = xⁿ , dimana n adalah konstanta, maka ^n-1

Contoh :

      y = x^{– 8}

y’ = – 8x^{– 9}

y = x⁵

y’ = 5x⁴

3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi

Jika y = k.v’ , dimana v = h(x) , maka

Contoh :  y = 2x⁵

                        k = 2                v = x⁵                   maka :              v′ = 5x^5-1  =  5x⁴

turunan :    y′  =  k . v′                   →                                y′  =  2 (5x⁴)

y′  =  10x⁴

^{y = 5x-8}              

        

^{k = 5          v = x-8}

^{v’ = -8x-8-1 = -8x-9}

^{maka : y’ = k.v’}

^{= 5(-8x-9) = -40x-9}

4. Diferensiasi pembagian konstanta dengaan fungsi

Jika y =  , dimana v = h(x), maka

Contoh :

y = 4 / x^-8

y’ = – 4. – 8x^{– 9}

(x^{– 8})²

y’ = 32 x^{– 9}

x^{– 16}

y’ = (32 x^{– 9} ). x¹⁶

y’ = 32 x⁷

5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi

Jika y = u ± v, dimana u = g (x) dan v = h(x), maka     dy/dx =    du/dx ±  dv/dx

Contoh :  Penjumlahan fungsi

y′  =  u′ + v′

y = 2x⁵ + x²

u = 2 x⁵                        maka :              u′ = 2.5x^5-1   =  10x⁴

 v = x²                                   maka :              v′ = 2x^2-1   =  2x

turunan :                y′  =  u′ + v′                 →        y′  =  10x⁴ + 2x

 Pengurangan fungsi

y′  =  u′ ^– v′

y = 2x⁵ – x²

u = 2 x⁵                        maka :              u′ = 2.5x^5-1   =  10x⁴

 v = x²                                   maka :              v′ = 2x^2-1   =  2x

turunan :                y′  =  u′ ^– v′                  →        y′  =  10x⁴ – 2x

      6. Diferensiasi perkalian fungsi

Jika y = u.v , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka

Contoh :

y = (5x⁴) (2x³)

u = 5x⁴            v = 2x³

u’ = 20x³             v’ = 6x²

y’ = (5x⁴). (6x²) + (2x³).(20X³)

y’ = 30 x⁶ + 40x⁶

7. Diferensiasi pembagian fungsi

Jika y =  , dimana u = g(x) dan v = h(x) maka y’ =

Contoh :

y = 3x²  / x⁴

u = 3x²                 v = x⁴

                u’ = 6x             v’ = 4x³

y’ = (x⁴)(6x)  –  (3x²)(4x³)

(x⁴)²

= 6x⁵ – 12x⁵    /   x⁸   =  -6 /  x³    = -6x^-3

Rumus Turunan Dasar Trigonometri

Berikut ini adalah beberapa turunan dasar trigonometri yang wajib diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri:

1.  f(x) = sin x  →  f '(x) = cos x
2.  f(x) = cos x  →  f '(x) = −sin x
3.  f(x) = tan x  →  f '(x) = sec² x
4.  f(x) = cot x  →  f '(x) = −csc²x
5.  f(x) = sec x  →  f '(x) = sec x . tan x
6.  f(x) = csc x  →  f '(x) = −csc x . cot x

Contoh Soal Diferensial Fungsi Trigonometri dan Penyelesaiannya

Contoh 1

Tentukan turunan dari y = sin 6x !

Penyelesaian :
Misalkan :
u = 6x   ⇒   u’ = 6

y’ = cos u . u’
y’ = cos 6x . 6
y’ = 6cos 6x

 Contoh 2

Tentukan turunan dari y = cos x²

Penyelesaian :
Misalkan :
u = x²   ⇒   u’ = 2x

y’ = −sin u . u’
y’ = −sin x²  . 2x
y’ = −2x sin x²

Contoh 3
Tentukan turunan dari y = tan (3x+2)

Penyelesaian :
Misalkan :
u = 3x + 2   ⇒   u’ = 3

y’ = sec²u . u’
y’ = sec²(3x+2) . 3
y’ = 3sec²(3x+2)

Contoh 4
Tentukan turunan dari y = sec 6x

Penyelesaian :
Misalkan :
u = 6x   ⇒   u’ = 6

y’ = sec u tan u . u’
y’ = sec 6x tan 6x . 6
y’ = 6sec 6x tan 6x

                                                 sampai sini dulu ya gaes penjelasannya, semoga bermanfaat :)