Sistem Bilangan Real dan Himpunan

Bilangan Real, dalam teori bilangan kita kenal yang namanya bilangan real (real number) atau sering juga disebut bilangan riil. Apa sebenarnya yang dimaksud dengan bilangan real ini?, Bilangan apa saja yang menjadi anggota bilangan real?. Bilangan real itu bilangan nyata, mempunyai nilai, nama, dan ada contohnya. Bilangan real dilambangkan dengan huruf R (real).   

Bilangan-bilangan real

Bilangan riil atau bilangan real dalam matematika menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. 

Bilangan Rasional

Bilangan rasional merupakan suatu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk a/b (pecahan) dimana a dan b adalah bilangan bulat dengan b bukan nol. Bilangan rasional juga memiliki batasan yaitu terdapat pada selanga (-∞,∞).

contoh :

Bilangan Irasioanal

     Bilangan irasional yaitu suatu bilangan yang tidak dapat dibagi karena hasil baginya tidak akan pernah terhenti. Jadi pada intinya,

contoh :

Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi

= 3,1415926535.... atau

= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...

Untuk bilangan :

= 1,4142135623730950488016887242096.... atau

= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..

dan untuk bilangan e:

= 2,7182818....

Himpunan 

     Himpunan adalah (kumpulan objek yang memiliki sifat yg dapat didefinisikan dengan jelas) segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z).

       Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Nama	Notasi	Contoh
Himpunan	Huruf besar	${\displaystyle S}$
Anggota himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)	${\displaystyle a}$
Kelas	Huruf tulisan tangan	${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan	Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks
Notasi	${\displaystyle \mathbb {N} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Q} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {C} }$

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol	Arti
${\displaystyle \{\}}$ atau ${\displaystyle \varnothing }$	Himpunan kosong
${\displaystyle \cup }$	Operasi gabungan dua himpunan
${\displaystyle \cap }$	Operasi irisan dua himpunan
${\displaystyle \subseteq }$, ${\displaystyle \subset }$, ${\displaystyle \supseteq }$, ${\displaystyle \supset }$	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
${\displaystyle A^{C}}$	Komplemen
${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$	Himpunan kuasa

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

• Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

${\displaystyle B=\{apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}}$

${\displaystyle A=\{a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}}$

${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}}$

• Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

${\displaystyle O=\{u\,|\,u{\mbox{ adalah bilangan ganjil}}\}}$

${\displaystyle E=\{x\,|\,x\in \mathbb {Z} \land (x{\mbox{ mod }}2=0)\}}$

${\displaystyle P=\{p\,|\,p{\mbox{adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI}}\}}$

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

${\displaystyle A=\{x\,|\,x\notin A\}}$

Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.

Macam-macam himpunan:

Himpunan Kosong 

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Jika himpunan K = {0}, himpunan K bukan merupakan himpunan kosong karena himpunan K mempunyai 1 anggota, yaitu bilangan 0.

Dalam bahasa Inggris, himpunan kosong diistilahkan dengan "empty set"

contoh : A = {x | x < x}, maka n(A) = 0

Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek yang dibicarakan.

Himpunan semesta dilambangkan dengan huruf  ” S ” .

Contoh : 

Tentukan himpunan semesta yang mungkin dari himpunan {3, 5, 7, 11, 13, 17}.

Penyelesaian :

Jika A = {3, 5, 7, 11, 13, 17} maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A adalah sebagai berikut.

Jika A = {3, 5, 7, 11, 13, 17} maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A adalah sebagai berikut.

S = {bilangan bulat positif} atau
S = {bilangan ganjil} atau
S = {bilangan prima} atau
S = {bilangan cacah} atau
S = {bilangan asli} atau
S = {bilangan real}

Himpunan Bagian

Dalam matematika, terutama teori himpunan, suatu himpunan A adalah himpunan bagian atau subset dari himpunan B bila A "termuat" di dalam B.

contoh :

Tentukan himpunan bagian dari A = {2, 4, 6, 8, 10} yang anggotanya adalah:

a. himpunan bilangan prima

b. himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3

c. himpunan bilangan bulat yang habis 4

Jawab:

a. P ={2}

b.T = {6}

c. E = {4, 8}

Operasi-operasi Himpunan

Irisan

Irisan 2 Himpunan adalah himpunan yang terdiri dari anggota-anggota yang terdapat baik dalam himpunan yang satu maupun yang lainnya dan dilambangkan dengan ⋂.

Contoh

A={1,2,3,4}

B={2,3,4,5}

Maka  A ⋂ B = {2,3,4}

Gabungan

Gabungan 2 Himpunan adlah himpunan yang terdiri dari semua anggota kedua himpunan dan dilambangkan dengan ⋃

Contoh

A={1,2,3,4}

B={2,3,4,5}

Maka A ⋃ B ={1,2,3,4,5}

Selisih 2 himpunan.

Selisih himpunan A dan B adalah anggota yang ada di A tapi tidak ada di B

Contoh

A={0,1,2,3,4}

B={2,3,4,5,6}

Maka A - B = {0,1}

dan     B - A ={5,6}

Komplemen

Komplemen suatu himpunan adalah anggota yang tidak terdapat pada himpunan tersebut dan biassanya dilambangkan dengan petik tunggal

Contoh

S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

B={1,2,3,4,5}

Maka B' = {6,7,8,9}